题目

关于二次函数零点的问题~
已知y=ax2+bx+c(a>0)
且f(1)=—a/2
（1）求证函数有两个零点
（2）如果函数的两个零点分别为x1.x2.求x1—x2绝对值的取值范围
（3）求证函数在（0,2）间有零点

提问时间：2020-10-30

答案

1、a+b+c=-a/2 => -b=3/2a+c => b^2-4ac=(3/2a-1/3c)^2+8/9c^2>0
2、c=-3/2a-b>0 => b<-3/2a
c=-3/2a-b => b^2-4ac=(2a+b)^2+2a^2 => |x1-x2|=√[(b^2-4ac)/(a^2)]=√[(2+b/a)^2+2]
当a>0时,b/a<-3/2,2+b/a<1/2,|x1-x2|>=√2
3、f(0)=c>0,f(2)=4a+2b+c=5/2a+b
当a>0时,b/a<-3/2：当-4<=b/a<-3/2时,对称轴x=-b/(2a)∈(3/4,2],且f(0)>0,开口向上,必有一根∈(0,2)；当b/a<=-4时,b<=-4a,f(2)=5/2a+b<=5/2a-4a=-3/2a<0,且f(0)>0,必有一根∈(0,2)