题目

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=4，E为BC的中点，F为CC₁的中点．

（1）求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；
（2）求二面角F-DE-C的余弦值．

提问时间：2020-10-30

答案

建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（1，2，0），F（0，2，2）．
（1）

EF

=（-1，0，2）．
易得平面ABCD的一个法向量为n=（0，0，1），
设EF与n的夹角为θ，
则cosθ═

2

5

5

，
∴EF与平面ABCD所成的角的余弦值为

5

5

．
（2）

EF

=（-1，0，2），

DF

=（0，2，2）．
设平面DEF的一个法向量为m，则m•

DF

=0，m•

EF

=0，
可得m=（2，-1，1），∴cos<m，n>=

m•n

|m||n|

=

6

6

，
∴二面角F-DE-C的余弦值为

6

6

．

（1）以D点为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，先求出平面ABCD的一个法向量为

n

，设EF与

n

的夹角为θ，求出此角的余弦值，根据EF与平面ABCD所成的角与θ互补求出所求即可；
（2）先求出

EF

与

DF

的坐标，设平面DEF的一个法向量为m，则m•

DF

=0，m•

EF

=0，建立两个等式关系，求出m，利用两法向量的夹角公式求出cos＜m，n＞，即可得到二面角F-DE-C的余弦值．

本题考点：直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评：本题主要考查了直线与平面所成的角，以及二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．