题目

已知数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足Sn²=an（Sn-1/2）
（1）求Sn的表达式；
（2）设bn=Sn/（2n+1）,求{bn}的前n项的和Tn.

提问时间：2020-10-30

答案

（1）由[S(n)]^2=a(n)[S(n)-1/2]以及a(n)=S(n)-S(n-1),n≥2得
[S(n)]^2=[S(n)-S(n-1)][S(n)-1/2],n≥2
整理得
2S(n)S(n-1)=S(n-1)-S(n),n≥2
两边同时除以S(n)S(n-1),得
1/S(n)-1/S(n-1)=2,n≥2
可见{1/S(n)}是以1/S(1)=1为首项、2为公差的等差数列,
即1/S(n)=2n-1
所以S(n)=1/(2n-1)
【所以a(n)=S(n)-S(n-1)=1/(2n-1)-1/(2n-3)=﹣2/[(2n-1)(2n-3)]】
（2）b(n)=S(n)/(2n+1)
=1/[2n-1)(2n+1)]
=(1/2)[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
则T(n)=(1/2)[1/1-1/3+1/3-1/5+…+1/(2n-3)-1/(2n-1)+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=(1/2)[1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1).