题目

设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,其首项b1和公比q均为整数,若cn=an+bn,c1=2,c2=5,c3=17,求{cn}的通项公

提问时间：2020-10-30

答案

设{an}的首项为a1,公差为d；由题意,d≠0,q≠0,q≠1,
c1=a1+b1=2 (1)
c2=a2+b2=a1+d+b1*q=5 (2)
c3=a3+b3=a1+2d+b1*q^2=17 (3)
(2)-(1),得到
d+b1*q-b1=3 (4)
(3)-(2),得到
d+b1*(q^2-q)=12 (5)
(5)-(4),得到
b1*(q^2-2q+1)=9
b1*(q-1)^2=9
∵q≠1,∴(q-1)^2>0,b1>0,
∵b1,q为整数,∴b1和(q-1)^2中必有一个是3的倍数.
若b1是3的倍数,b1=3k,k∈N,q=1±√[9/(3k)]仅有k=3,q=2,b1=9,a1=-7,d=-6满足要求.
若(q-1)^2是3的倍数,q=√(3k)+1,k∈N,无解.
因此,cn=a1+（n-1)*d+b1*q^(n-1)=-7+(n-1)*(-6)+9*2^(n-1)
=9*2^(n-1)-6n-1