题目

关于x的不等式：lg^2倍的x-(2+m)lgx+m-1>0 对于m的绝对值≤1恒成立,则x的取值范围
求详解 急

提问时间：2020-10-30

答案

若不等式（lgx)²-(2+m)lgx+m-1＞0对于|m|≤1恒成立,
求x的取值范围.
由（lgx)²-(2+m)lgx+m-1>0
得lgx<[2+m-√(m²+8)]/2.(1)
或lgx>[2+m+√(m²+8)]/2.(2)
由于│m│≤1,∴-1≤m≤1,0≤m²≤1.
故1≤2+m≤3.①
或3≥2+m≥1.②
8≤m²+8≤9
2√2≤√(m²+8)≤3.③
于是②-③得 3-2√2≥2+m-√(m²+8)≥-2;
①+③得 1+2√2≤2+m+√(m²+8)≤6.
不等式两边都除以2,得：
-1≤[2+m-√(m²+8)]/2≤(3-2√2)/2...(3)
(1+2√2)/2≤[2+m+√(m²+8)]/2≤3.(4)
因为原不等式对│m│≤1恒成立,故由（1）和（3）
得 lgx≤-1,于是得0<x≤1/10；
由（2)和(3)得lgx≥3,于是得x≥1000.
故x∈(0,1/10]∪[1000,+∞).