题目

递推数列求通项
An=(2An-1 +1)/(An-1 +2)
求通项
09年山西22题第一问
真头痛,连这个都写不出来明年该怎么考啊,好自卑
递推公式求通项的题型真的很多,难道真要把这些题型都写过?要记的又多,这类题有没有什么比较基本的解题思路呢?
A1＝1/2，A2＝4/5

提问时间：2020-10-30

答案

楼上是正确的,我只是补充说明：
在等式两端同时加x,有：
An+x=[(2+x)An-1 +2x+1]/(An-1 +2) （通分了）
然后就有楼上写的：
x=(2x+1)/(x+2);
x=1,-1;
（随便代入一个,以-1为例）
An-1=(2An-1 +1)/(An-1 +2)-1
=(An-1 -1)/(An-1 +2)
1/(An-1)=(An-1 +2)/(An-1 -1)
=3/(An-1 -1)+1
令1/(An-1)=Bn
Bn=3Bn-1 +1;
（接下来我补充）
令,Bn+t=3(Bn-1 +t)
即3t-t=1
解得：t=1/2
所以
Bn+1/2=3(Bn-1 +1/2)
令Cn=Bn+1/2
Cn=3Cn-1
所以
Cn=C1*3^(n-1)
C1=B1+1/2=1/(A1-1)+1/2=-3/2
Cn=-1/2*3^n
又有：
Cn=Bn+1/2=1/(An-1)+1/2
联立
1/(An-1)+1/2=-1/2*3^n
解得
An=1-2/(3^n+1)
数列问题,也没什么基本思路.就是要多做题,题做得多了,再看到类似的就能联系上了.还记得当时老师给我们讲数列,同学问：“这规律我怎么看不出来?”老师答：“下次就能看出来了……”
数列还是比较难的,不过别害怕、别自卑,熟记那些最基本的题型,做到多做多想多思考,要相信自己……
总之,数列部分没什么秘诀,做的题多了,也就悟出方法来了……