题目

已知x,y是正整数,x≤2001,x^2+1＝2y^2,求所有满足条件的正整数对(x,y).
已知解为
1 1
7 5
41 29
239 169
1393 985

提问时间：2020-10-30

答案

这个叫负佩尔方程,把1变成-1的话就是佩尔方程.有一套详细的理论,这里符号也打不清楚,我就不细说了,你要是想了解更详细的理论自己搜一下吧.
对于这道题来讲大概是这样的,首先平方差公式(x-√2y)(x+√2y)=-1,两边取奇数次方,(x-√2y)^n(x+√2y)^n=-1,这里n是奇数
而注意到(x+√2y)^n = Xn+√2Yn（就是用二项式定理展开,然后把有根号的合并,这里Xn,Yn都是整数,n是下标）,同理(x-√2y)^n=Xn-√2Yn（√2都来自奇数次项,负号也体现在奇数次项,所以直接Yn加负号就好）
因此上述等式转化为Xn^2 - 2Yn^2=-1,也就是说如果x,y是一组解,那么Xn,Yn也是一组解.注意n是奇数
这样你已经知道1,1是解了,那么(1+√2)^3=7+5√2,因此7和5是一组解,接下来(1+√2)^5=41+29√2,因此41和29是一组解
这样就得到了所有的解.
但是直接求n次方比较麻烦,所以可以考虑递推式(1+√2)^(n+2)=(1+√2)^n * (3+2√2) = (Xn+√2Yn)*(3+2√2)=(3Xn+4Yn) + (2Xn+3Yn)√2
所以Xn Yn的下一组解是3Xn+4Yn和2Xn+3Yn