题目
如图,△ABC中,∠ACB=90°,AD⊥AB,AD=AB,BE⊥DC于点E,CA的垂线AF交AB的延长线于点F,连接CF,求∠ACF的度数.
提问时间:2020-10-30
答案
∵AF⊥AC,BC⊥AC,
∴BC∥AF,
∴∠EBC=∠AFB,
∵EF⊥DE,∠ACB=90°,
∴∠DCA+∠ECB=90°,∠ECB+∠EBC=90°,
∴∠DCA=∠EBC,
∵∠DCA=∠AFE,又AD⊥AB,
∴∠DAC+∠CAB=90°,∠BAF+∠CAB=90°,
∴∠DAC=∠BAF,
∴在△DAC和△BAF中,
,
∴△DAC≌△BAF(AAS),
∴AC=AF,
∵AF⊥AC,
∴∠CAF=90°,
∴∠ACF=45°.
∴BC∥AF,
∴∠EBC=∠AFB,
∵EF⊥DE,∠ACB=90°,
∴∠DCA+∠ECB=90°,∠ECB+∠EBC=90°,
∴∠DCA=∠EBC,
∵∠DCA=∠AFE,又AD⊥AB,
∴∠DAC+∠CAB=90°,∠BAF+∠CAB=90°,
∴∠DAC=∠BAF,
∴在△DAC和△BAF中,
|
∴△DAC≌△BAF(AAS),
∴AC=AF,
∵AF⊥AC,
∴∠CAF=90°,
∴∠ACF=45°.
由垂直定义可求出相关的直角和直角三角形,再根据余角的性质可得∠DCA=∠EBC,∠DAC=∠BAF,然后根据AF⊥AC,BC⊥AC,推出BC∥AF,可得∠EBC=∠AFE,通过等量代换后得∠DCA=∠AFE,根据全等三角形的判定定理“AAS”,通过求证△DAC≌△BAF,推出AC=AF后,根据AF⊥AC,即可求出∠ACF=45°.
等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质.
本题主要考查全等三角形的判定与性质,直角三角形的性质,等腰直角三角形的判定与性质,关键在于根据题意推出相等的角,求证△DAC≌△BAF.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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