题目

证明：(ab+a+b+c)(ab+ac+bc+c2)≥16abc

提问时间：2020-10-30

答案

题目抄错了或者缺少条件.
反例:a = b = 1,c = 1/2.
代入左边 = (1+1+1+1/2)(1+1/2+1/2+1/4) = 7/2·9/4 = 63/8 < 8.
右边 = 16·1·1·1/2 = 8 > 左边.
如果改成(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c²) ≥ 16abc,则对a,b,c > 0是成立的.
由均值不等式,左端 = (a+1)(b+1)(a+c)(b+c) ≥ (2√a)(2√b)(2√(ac))(2√(bc)) = 16abc.