题目

如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,且AB∥CD,
∠BAD=90°,PA=AD=DC=2,AB=4．
（1）求证：BC⊥PC；
（2）求点A到平面PBC的距离．

提问时间：2020-10-30

答案

（I）证明：在直角梯形ABCD中,∵AB∥CD,∠BAD=90°,AD=DC=2
∴∠ADC=90°,且 AC=2根号2．
取AB的中点E,连接CE,
由题意可知,四边形AECD为正方形,所以AE=CE=2,
又 BE=1/2
AB=2,所以 CE=1/2AB,
则△ABC为等腰直角三角形,
所以AC⊥BC,
又因为PA⊥平面ABCD,且AC为PC在平面ABCD内的射影,BC⊂平面ABCD,由三垂线定理得,BC⊥PC
（II）由（I）可知,BC⊥PC,BC⊥AC,PC∩AC=C,
所以BC⊥平面PAC,BC⊂平面PBC,
所以平面PBC⊥平面PAC,
过A点在平面PAC内作AF⊥PC于F,所以AF⊥平面PBC,
则AF的长即为点A到平面PBC的距离,
在直角三角形PAC中,PA=2,AC=2根号2,PC=2根号3,
所以 AF=2根号6/3
即点A到平面PBC的距离为 2根号6/3