题目

已知以向量

v

＝(1，

1

2

)为方向向量的直线l过点(0，

5

4

)，抛物线C：y²=2px（p＞0）的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若

OA

•

OB

+p2＝0（O为原点，A、B异于原点），试求点N的轨迹方程．

提问时间：2020-10-30

答案

（Ⅰ）由题意可得直线l：y＝12x+54     ①过原点垂直于l的直线方程为 y=-2x    ②解①②得x＝−12，即两直线的交点的横坐标为x＝−12．∵抛物线的顶点关于直线l...

（Ⅰ）先求直线l：y＝

1

2

x+

5

4

，再根据抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，可得方程，从而可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x，y），根据

OA

•

OB

+p2＝0，用坐标表示，结合抛物线方程，即可求得点N的轨迹方程．

本题考点：抛物线的简单性质；轨迹方程；抛物线的标准方程．

考点点评：本题重点考查轨迹方程，考查抛物线的方程，考查向量知识，解题的关键是将向量关系转化为坐标之间的关系．