题目

已知椭圆x^2/a^2+y^2=1(a>=2),直线l与椭圆交于A,B两点,M是线段AB的中点,连接OM并延长交椭圆与点C.
设直线AB与直线OM的斜率分别为K1,K2,且K1*K2=-0.5,求椭圆的离心率?
若直线AB经过椭圆的右焦点F,且四边形OACB是平行四边形,求直线AB的斜率的取值范围?

提问时间：2020-10-30

答案

（1）、设A（x1,y1）,B（x2,y2）,K1=(y1-y2)/(x1-x2),
K2=(y1+y2)/(x1+x2),则：
（x1²/a²）+y1²=1
（x2²/a²）+y2²=1
用上式减下式,得：
[（x1-x2）（x1+x2）/a²]+(y1-y2)(y1+y2)=0
等式两边除以（x1-x2)(x1+x2）,得到：(1/a²)+K1K2=0
由于k1k2=-0.5,解得a=√2,c=1
那么e=√2/2
（2）设直线AB方程为x=ny+c
设A、B点坐标为(x1,y1)、（x2,y2）
则
x1^2+y1^2*a^2=a^2
x2^2+y2^2*a^2=a^2
两式减
(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)*a^2=0
所以
(x1-x2)/(y1-y2)=-a^2(y1+y2)/(x1+x2)=n
又因为k(OC)=k(OM)=[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=-n/a^2
所以l(OM):nx+a^2y=0……（*）
把（*）代入椭圆方程,消去x
(a^2/n^2)y^2+y^2=1
设C点坐标为（x0,y0）,则y0^2=n^2/(a^2+n^2)
那么M点纵坐标为(y0/2)=n/[2√（a^2+n^2)]（平行四边形对角线平分）.
联立直线AB：x=ny+c,椭圆.消x,有
(a^2+n^2)y^2+2ncy-1=0
所以(y1+y2)/2=-2nc/(a^2+n^2),这也是M点的纵坐标
所以n/[2√（a^2+n^2)]=-2nc/(a^2+n^2)
整理有n^2=4c^2-a^2=4c^2-(1+c^2)=3c^2-1
c^2=a^2-b^2=a^2-1>=4-1=3[a>=2]
所以n^2=3c^2-1>=8
故1/n^2