题目

函数y=sin²x-2sinxcosx-cos²x（x∈R）的单调递增区间为 ___ ．

提问时间：2020-10-30

答案

函数y=sin²x-2sinxcosx-cos²x
=-（cos²x-sin²x）-2sinxcosx
=-（cos2x+sin2x）
=-

2

sin（2x+

π

4

），
当2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，即kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

时，
正弦函数sin（2x+

π

4

）单调递减，原函数单调递增，
则函数的单调递增区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z．
故答案为：[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z

把函数解析式第一与第三项结合，提取-1后，利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，再提取-1后，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出正弦函数的单调递减区间，求出此时x的范围，即为原函数的单调递增区间．

本题考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．

考点点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，灵活运用三角函数的恒等变换把函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．