题目

已知圆C:X²+Y²-4X-2Y-15=0上有四个不同的点到直线L:Y=K(X-7)+6的距离等于√5,则K的取值范围是?

提问时间：2020-10-30

答案

∵圆C:X²+Y²-4X-2Y-15=0的圆心为（2,1）,半径为2√5
∴要使圆C:X²+Y²-4X-2Y-15=0上有四个不同的点到直线L:Y=K(X-7)+6的距离等于√5,必须满足
圆心（2,1）到直线L:Y=K(X-7)+6的距离小于√5
∵直线L:Y=K(X-7)+6过定点（7,6）
∴点（2,1）和点（7,6）的距离等于5√2,直线的斜率=1(与x轴夹角为45°）
∵圆心（2,1）到直线L:Y=K(X-7)+6的距离小于√5可转换直线L:Y=K(X-7)+6与点（2,1）和点（7,6）的直线夹角α正切值小于√5/√（50-5）=1/3
∴直线L与x轴夹角在（45°-α,45°+α）
由tan45°=1,tanα=1/3得
tan（45°-α）=1/2,tan（45°+α）=2
∴K的取值范围是（1/2,2）