题目

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=45°，AB=10cm，CD=4cm．等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止．

（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由______形变化为______形；
（2）设当等腰直角三角形PMN移动x（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y（cm²），求y与x之间的函数关系式；
（3）当①x=4（s），②x=8（s）时，求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积．

提问时间：2020-10-30

答案

（1）等腰直角△PMN，
∠DAB=45°，
∴∠PNM=∠DAB=45°，
∴∠AEN=180°-45°-45°=90°，
∴△AEN是等腰直角三角形，
如图②DC∥AB，∠DAB=∠PNM=45°，
∴四边形DENA是等腰梯形，
故答案为：等腰直角三角，等腰梯．
（2）可分为以下两种情况：
①当0＜x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角三角形EAN（如图①），
此时AN=x（cm），
过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN，
∴EH=

1

2

AN＝

1

2

x，
∴y=S_△ANE=

1

2

AN•EH=

1

2

x•

1

2

x=

1

4

x²，
②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED（如图②），
此时，AN=x（cm），
可求得CE=BN=10-x，DE=4-（10-x）=x-6，
过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，
则AF=BG，DF=AF=

1

2

（10-4）=3，
∴y=S_梯形ANED=

1

2

(DE+AN)•DF＝

1

2

（x-6+x）×3=3x-9．
答：y与x之间的函数关系式是y=

1

4

x²（0＜x≤6）或 y=3x-9（6＜x≤10）．
（3）①当x=4（s）时，
y=

1

4

x2＝

1

4

×42=4，
②当x=8（s）时，
y=3x-9=3×8-9=15，
答：①当x=4（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm²，②当x=8（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是15cm²．