题目

如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若

AB

＝m

AM

，

AC

＝n

AN

，求m+n的值．

提问时间：2020-10-30

答案

延长AO至A'使AO=A'O，延长A'C交MN 于M'，如图：
则△OBM≌△OCM'，∴BM=CM'，
∵△NAM∽△NCM'，
∴

NC

AN

=

CM′

AM

，即

AC−AN

AN

=

AM−AB

AM

，
∵

AB

＝m

AM

，

AC

＝n

AN

，
∴|

AB|

＝m

|AM|

，|

AC|

＝n

|AN|

，
代入上式得，n-1=1-m，则m+n=2．

根据题意和几何图形作出辅助线：延长AO至A'使AO=A'O，延长A'C交MN 于M'，利用O是BC的中点，得到三角形全等和相似，利用相似比和线段的关系列出等式，再把条件代入求出m+n的值．

本题考点：向量在几何中的应用；平行向量与共线向量．

考点点评：本题考查了向量在几何中的应用，利用条件和图形作出辅助线，由三角形全等和相似得到相似比，再由向量的模和线段的之间关系代入求出值，考查了数形结合思想．