题目

已知a，b是整数，a²+b²能被3整除，求证：a和b都能被3整除．

提问时间：2020-10-30

答案

证明：用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：
（1）a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3|a，3不整除b．令a=3m，b=3n±1（m，n都是整数），于是
a²+b²=9m²+9n²±6n+1
=3（3m²+3n²±2n）+1，
不是3的倍数，矛盾；
（2）a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则
a²+b²=（3m±1）²+（3n±1）²，
=9m²±6m+1+9n²±6n+1
=3（3m²+3n2±2m±2n）+2，
不能被3整除，矛盾；
同理分别设a=3m±2，b=3n±1或a=3m，b=3n±2，或a=3m±2，b=3n±2，代入a²+b²会得到相同的结论．
由此可知，a，b都是3的倍数．