题目

过抛物线y=4x的焦点的直线l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,求△AOB的重心G的轨迹方程.拜托了各位 谢谢

提问时间：2020-10-30

答案

抛物线的焦点坐标为（1,0）,当直线l不垂直于x轴时,设方程为y=k（x-1）,代入y 2 =4x,得k 2 x 2 -x（2k 2 +4）+k 2 =0． 设l方程与抛物线相交于两点,∴k≠0．设点A、B的坐标分别为（x 1 ,y 1 ）、（x 2 ,y 2 ）,根据韦达定理,有x 1 +x 2 = 2(k2+2) k2 ,从而y 1 +y 2 =k（x 1 +x 2 -2）= 4 k ． 设△AOB的重心为G（x,y）,消去k,得x= 2 3 + 4 3 （ 3 4 y）2,则x= 0+x1+x2 3 = 2 3 + 4 3k2 ,y= 0+y1+y2 3 = 4 3k ,∴y 2 = 4 3 x- 8 9 ． 当l垂直于x轴时,A、B的坐标分别为（1,2）和（1,-2）,△AOB的重心G（ 2 3 ,0）,也适合y 2 = 4 3 x- 8 9 ,因此所求轨迹C的方程为y 2 = 4 3 x- 8 9 ． 补充：1.设A、B、G坐标为（x1,y1）(x2,y2)（x3,y3） L为y=kx-k (k≠0) 3x3=x1+x2 3y3=y1+y2 将直线方程代入 抛物线方程 得：ky^2-4y-4k=0 4(x1+x2)=y1^2+y2^2 =(y1+y2)^2-2y1y2 3y3=4/k 代入化简得：12x3-8=9y3^2 即方程为 12x-8=9y^2