题目

是否存在这样的实数a，使函数f（x）=x²+（3a-2）x+a-1在区间[-1，3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点．若存在，求出范围，若不存在，说明理由．

提问时间：2020-10-30

答案

若实数a满足条件，则只需f（-1）•f（3）≤0即可．
f（-1）•f（3）=（1-3a+2+a-1）•（9+9a-6+a-1）=4（1-a）（5a+1）≤0．所以a≤-

1

5

或a≥1．
检验：（1）当f（-1）=0时，a=1．所以f（x）=x²+x．令f（x）=0，即x²+x=0．得x=0或x=-1．
方程在[-1，3]上有两根，不合题意，
故a≠1．
（2）当f（3）=0时，a=-

1

5

，此时f（x）=x²-

13

5

x-

6

5

．令f（x）=0，即x²-

13

5

x-

6

5

=0，解之得x=-

2

5

或x=3．方程在[-1，3]上有两根，不合题意，故a≠-

1

5

．
综上所述：a的取值范围为a＜-

1

5

或a＞1．