题目

设x,y是关于m的方程m^2-2am+a+6=0的两个实数根,则(x-1)^2+(y-1)^2的最小值
x+y=2a
xy=4+b
(x-1)^2+(y-1)^2=(x+y)^2-2xy-2(x+y)+2=

提问时间：2020-10-30

答案

x,y是关于m的方程m^2-2am+a+6=0的两个实数根,则有
x+y=2a,
x*y=a+6,
消去参数a,可得,
X+Y-2XY+12=0,
令,f(x)=(x-1)^2+(y-1)^2,
利用公式:a>0,b>0,
a^2+b^2≥2ab,当且仅当a=b时,取等号.
要使f(x)有最小值,则须满足(X-1)=(Y-1),
即,X=Y,
而,X+Y-2XY+12=0,则有
2X^2-2X-12=0,
X^2-X-6=0,
(X-3)(X+2)=0,
X1=3,X2=-2.
Y1=3,Y2=-2.
当X1=3,Y1=3时,
f(x)=(x-1)^2+(y-1)^2
≥2(X-1)(Y-1)
=8.
即,f(x)最小值=8.
或将X=3,Y=3,直接代入f(x)=x-1)^2+(y-1)^2,中,得到,
f(x)=(3-1)^2+(3-1)^2=8.
即,f(x)最小值=8.