题目
设函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2,试用c表示a和b,并求f(x)的单调区间.
提问时间:2020-10-30
答案
依题意有f(1)=-2,f′(1)=0,而f′(1)=3x2+2ax+b,
故
解得
从而f′(x)=3x2+2cx-(2c+3)=(3x+2c+3)(x-1).
令f′(x)=0,得x=1或x=−
.
由于f(x)在x=1处取得极值,故−
≠1,即c≠-3.
若−
>1,即c<-3,
则当x∈(−∞,−
)时,f′(x)>0;
当x∈(−
,1)时,f′(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0;
从而f(x)的单调增区间为(−∞,−
],[1,+∞);单调减区间为[−
,1]
若−
<1,即c>-3,
同上可得,f(x)的单调增区间为(−∞,1],[−
,+∞);单调减区间为[1,−
]
故
|
|
从而f′(x)=3x2+2cx-(2c+3)=(3x+2c+3)(x-1).
令f′(x)=0,得x=1或x=−
2c+3 |
3 |
由于f(x)在x=1处取得极值,故−
2c+3 |
3 |
若−
2c+3 |
3 |
则当x∈(−∞,−
2c+3 |
3 |
当x∈(−
2c+3 |
3 |
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0;
从而f(x)的单调增区间为(−∞,−
2c+3 |
3 |
2c+3 |
3 |
若−
2c+3 |
3 |
同上可得,f(x)的单调增区间为(−∞,1],[−
2c+3 |
3 |
2c+3 |
3 |
根据题意,先求导,由函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2,的f′(1)=0,f(1)=-2,可得用c表示a和b;令导数f′(x)=0,比较根的大小,确定函数f(x)的单调区间.
利用导数研究函数的极值.
考查利用导数研究函数的单调性和极值,即函数在某点取得极值的条件,体现方程的思想,特别讨论函数的单调性,比较两根的大小,体现了分类讨论的思想方法,属难题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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