题目

若方程a^2x^+ax-2=0,在[-1,1]上有解,求a的取值范围

提问时间：2020-10-30

答案

这个题目有两大思路.
第一思路利用求根公式求出方程的根
x = (-a ± 3|a|)/(2a^2)
-2a^2 ≤ -a + 3|a| ≤ 2a^2
或者
-2a^2 ≤ -a - 3|a| ≤ 2a^2
然后以 a > 0 和 a < 0 分别讨论以上不等式.
此思路似乎并不简洁.
第二思路 是结合函数图象.
f(x) = a^2 x^^2 + a x -2 是开口向上的抛物线.
根据判别式恒大于0,容易判断,不论a取何值(a=0除外）,此抛物线与 x 轴始终有2个交点.
根据题目要求,至少要有一个交点 介于 [-1,1]
结合函数图象可以判断出：
当 f(-1) < 0 ,同时 f(1) < 0 时,在 [-1,1] 区间无交点
当 f(-1) > 0 ,f(1) > 0 且 抛物线对称轴 介于 [-1,1] 区间之外时,则在 [-1,1] 区间无交点.
除去以上2种情况,在 [-1,1] 区间必有交点.
f(-1) = a^2 -a -2 = (a-2)(a+1)
f(1) = a^2 + a -2 = (a+2)(a-1)
f(x) = a^2(x^2 + x/a) - 2 = a^2[ x + 1/(2a)] + ……
所以对称轴为 x = - 1/(2a)
对称轴 位于 [-1,1] 之外的不等式为
-1/(2a) > 1 且 -1/(2a) < -1
其解为 {-1/2 < a < 1/2 且 a ≠ 0 }
不等式组 f(-1) < 0 ,f(1) < 0 的解为
{-1 < a < 2} ∩ { -2 < a < 1} = -1 < a < 1
不等式组 f(-1) > 0 ,f(1) > 0 的解为
{ a < -1 或 a > 2 } ∩ { a < -2 或 a > 1} = a < -2 或 a > 2
在与 对称轴位于 [-1,1]区间之外的解{-1/2 < a < 1/2 且 a ≠ 0 } 取交集.其解为空集.
因此 两个交点都不在 [-1,1] 区间内的必要条件是 -1 < a < 1
反过来,在 [-1,1] 区间内至少有一个交点的必要条件是:
a ≤ -1 或 a ≥1
我觉得思路二更好些.看上去麻烦,但是实际上是我的解释太详细所导致.