题目

y=(2+cosx)^x+1-x/1+xarcsin根号下1-x^2的导数

提问时间：2020-10-30

答案

　　适当的括号是必须的,否则容易引起误判.应该是
　　　y = [(2+cosx)^x]+(1-x)/[1+xarcsin√(1-x^2)]
分成两个函数
　　　y = f(x)+g(x),
其中
　　　f(x) = (2+cosx)^x,
　　　g(x) = (1-x)/[1+xarcsin√(1-x^2)],
于是
　　f'(x) = {e^[xln(2+cosx)]}
　　　　= {e^[xln(2+cosx)]}*{ln(2+cosx)+[x(-sinx)]/(2+cosx)}
　　　　= [(2+cosx)^x]*{ln(2+cosx)+[x(-sinx)]/(2+cosx)},
对 g(x) 用对数求导法求导,即取
　　　ln|g(x)| = ln|1-x|-ln|1+xarcsin√(1-x^2)|,
求导,得
　　g'(x)/g(x) = -1/(1-x)-{1/[1+xarcsin√(1-x^2)]}*[1+xarcsin√(1-x^2)]'
　　　　= -1/(1-x)-{1/[1+xarcsin√(1-x^2)]}*{arcsin√(1-x^2)+x*{1/√[1-(1-x^2)]}*[-x/√(1-x^2)]}
　　　　= -1/(1-x)-{1/[1+xarcsin√(1-x^2)]}*{arcsin√(1-x^2)+(x/|x|)*[-x/√(1-x^2)]},
于是
　　　g'(x) = g(x)*{-1/(1-x)-{1/[1+xarcsin√(1-x^2)]}*{arcsin√(1-x^2)+(x/|x|)*[-x/√(1-x^2)]}},
　……