题目

在半支抛物线y=根号x,取点P1,P2…Pn-1,B,使他们的横坐标顺次为1/n,2/n,…(n-1)/n,1.
在半支抛物线y=根号x,取点P1,P2…Pn-1,B,使他们的横坐标顺次为1/n,2/n,…(n-1)/n,1,定点A（1,0）是B在x轴上的射影点.
问：
用n表示Sn=｜AP1｜^2+｜AP2｜^2…+｜APn-1｜^2

提问时间：2020-10-30

答案

(5n由题P1（1/n,根号1/n),……Pn(n-1/n,根号n-1/n)
向量AP1=（1-n/n,根号1/n)……APn=(-1/n,根号n-1/n)
所以AP1方=（1-n)^2/n^2 + 1/n.…… APn方=1/n^2 + n-1/n
Sn=（1-n)^2/n^2 +……+1/n^2 +1/n +……+ n-1/n
=[1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 +……+ (n-1)^2]/n^2 +[1+2+3+4+……+n-1]/n
因为 （k+1）^3=k^3+3k^2+3k+1.1
k^3=(k-1)^3+3(k-1)^2+3(k-1)+1.2
.
.
2^3=1^3+3*1^2+3*1+1.k
k式相加：(k+1)^3-1=3(k^2+.+1)+3(k+k-1+.+1)+k
所以3（k^2+...+1) =(k+1)[(k+1)^2-1-k-(3k(k+1)/2)]
=k(k+1)(2k+1)
故1^2+2^2+3^2+...+N^2=N(N+1)(2N+1)/6
所以Sn=(5n方-6n+1）/6n