题目

怎样证明由一条确定长度的非弹性线段围成的图形中圆的面积是最大的?

提问时间：2020-10-30

答案

(Steiner解法）
1° 周长一定的封闭曲线中,如果围成的面积最大,则必为凸图形．
若为该图形凹,可任作一条与曲线凹进部分有两个交点的直线,作该曲线在两交点间一段弧的对称曲线,则可得一个与之等周且面积更大的图形．
2° 周长一定的面积最大的封闭曲线中,如果点A、B平分其周长,则弦AB平分其面积．
若AB不平分其面积,则该图形必有在AB某一侧面积较大,如图,不妨设N>M,则去掉M作N的关于AB的对称图形N’,则由N、N’组成的图形周长与原来的相等,但面积更大．
3°对于既平分周长与又平分面积的弦AB,只考虑该图形在AB的任一侧的一半,若C为此段弧上任一点,则∠ACB=90°．否则连AC、BC可把此图形划分为三块：曲线AC和线段AC围成的不规则形M、曲线BC和线段BC围成的不规则形N、三角形ABC,只须改变∠ACB的大小,使∠ACB=90°（保持M和N的形状不变）,则M、N的面积不变,而三角形ABC的面积变大．
这说明,此半段曲线必为半圆,从而另一半也是半圆．
该证明默认了最大值的存在性,并非完美的证明.严格证明需要用变分法.