题目

过P点作圆（X+1）^2+（Y-2)^2=1切线,切点为M,若PM的长度=PO的长度则PM的最小值

提问时间：2020-10-30

答案

设圆心为点Q,则点Q的坐标为（-1,2）,QM = 1 为圆半径；
已知,PM切圆Q于M,可得：PM⊥QM,
则有：PM²+QM² = PQ² ；
设点P的坐标为（a,b）,
PM²+QM² = PO²+QM² = a²+b²+1 ,
PQ² = (a+1)²+(b-2)² ,
则有：a²+b²+1 = (a+1)²+(b-2)² ,
可得：a = 2b-2 ,
因为,PM² = PO² = a²+b² = (2b-2)²+b² = 5b²-8b+4 = 5(b-4/5)²+4/5 ≥ 4/5 ,
所以,PM ≥ (2/5)√5 ,即：PM的最小值为 (2/5)√5 .