题目

过椭圆C：x2/a2+y2/b2=1外一点A（m,0）作一直线l交椭圆于P,Q两点
过椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）外一点A（m,0）作一直线l交椭圆于P,Q两点,Q关于x轴的对称点为Q1,连结PQ1交x轴于点B
（1）若AP（向量）=λAQ（向量）,求证PB（向量）=λBQ1（向量）
（2）求证点B为一定点（a2/m,0）
求各位大虾们了我想不出来了.

提问时间：2020-10-29

答案

设P(x1,y1),Q(X2,Y2),B(X,0),Q1(X2,-Y2)
斜率 PB=BQ1 PQ=PA
所以 y1/(x1-x)=-y2/(x2-x) (*) y2/(x2-m)=y1/(x1-m)
又AP=λAQ,所以x1-m=λ(x2-m),y1=λy2
所以 y2=y1/λ ,代入*式,
x=(λx2+x1)/(λ+1)
表示出向量PB,BQ1,PB=(λ(x2-x1)/(λ+1),-y1)
BQ1=((x2-x1)/(λ+1),-y2)
所以PB=λBQ1,得证
x1-m=λ(x2-m),m=(λx2-x1)/(λ-1),所以a^2/m=(λx2+x1)/(λ+1),证a^2/m=X(B横坐标,之前已用x=(λx2+x1)/(λ+1)表示出 )
即证λ^2 x2^2-x1^2=a^2(λ^2-1),P,Q在椭圆上,代入方程,y1^2=(a^2 b^2-b^2 x1^2)/a^2=λ^2 y2^2=(λ^2 a^2 b^2-λ^2 b^2 x2^2)/a^2
整理得λ^2 a^2 - λ^2 x2^2=a^2- x1^2,即是λ^2 x2^2-x1^2=a^2(λ^2-1),
所以a^2/m=(λx2+x1)/(λ+1),
即B坐标为（a2/m,0）
PS:想了好久~