题目

已知m∈R,圆C:x^2+y^2-2mx+2(m-1)y+2m^2-2m+1/2=0,（1）求证,圆C的圆心在一条定直线上；
（2）已知圆C与一条定直线相切,求这条定直线方程

提问时间：2020-10-29

答案

（1）∵x^2+y^2-2mx+2(m-1)y+2m^2-2m+1/2=0
∴(x-m)^2+(y+m-1)^2=1/2
∴圆心C(m,1-m),∵m+1-m=1
∴圆心C在定直线x+y=1上
（2）设该直线方程为：y=kx+b,则C(m,1-m)到该直线的距离为根号2/2
∴|km-(1-m)+b|/根号(1+k^2)=根号2/2
即：2(k+1)^2m^2+4(k+1)(b-1)m+2(b-1)^2-k^2-1=0
∴上述等式对于任意的m均成立,∴2(k+1)^2=0,4(k+1)(b-1)=0,2(b-1)^2-k^2-1=0
∴解得：k=-1,b=0或2
∴这条直线为：y=-x或者y=-x+2