题目

已知点P（x，y）是圆x²+y²=2y上的动点，则2x+y的取值范围 ___ ．

提问时间：2020-10-29

答案

因为x²+y²=2y化为x²+（y-1）²=1，
令x=sinθ，y=1+cosθ，
所以2x+y=2sinθ+cosθ+1=

5

sin（θ+β）+1，其中tanβ=

5

5

．
因为sin（θ+β）∈[-1，1]，
所以

5

sin（θ+β）+1∈[1-

5

，1+

5

]．
2x+y的取值范围：[1-

5

，1+

5

]．
故答案为：[1-

5

，1+

5

]．

通过三角代换，化简表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后求出表达式的范围．

本题考点：简单线性规划．

考点点评：本题考查函数的最值的求法，考查换元法的应用，也可以利用简单的线性规划来解答，考查计算能力．