题目
如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD,M、N分别是AB、PC的中点,
(1)求平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的大小;
(2)求证:平面MND⊥平面PCD.
(1)求平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的大小;
(2)求证:平面MND⊥平面PCD.
提问时间:2020-10-28
答案
(1)∵PA⊥平面ABCD,CD⊂PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥CD,
又∵四边形ABCD是矩形,
∴AD⊥CD
又∵AD∩PA=A
∴CD⊥平面PAD,
又∵PD⊂平面PAD,
∴CD⊥PD
故∠PDA即为平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的平面角,
又∵在直角三角形PAD中,PA=AD
∴∠PDA=45°
即平面PCD与平面ABCD所成锐二面角为45°
(2)证明:取PD的中点E,连接AE,EN,如下图所示
则EN∥CD∥AM,且EN=
CD=AM
∴四边形AMNE为平行四边形,故AE∥MN…①
由(I)中CD⊥平面PAD,得AE⊥CD
又∵三角形PAD为等腰直角三角形,
∴AE⊥PD
∵PD∩CD=D
∴AE⊥平面PCD
由①得:MN⊥平面PCD
又∵MN⊂平面MND
∴平面MND⊥平面PCD.
∴PA⊥CD,
又∵四边形ABCD是矩形,
∴AD⊥CD
又∵AD∩PA=A
∴CD⊥平面PAD,
又∵PD⊂平面PAD,
∴CD⊥PD
故∠PDA即为平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的平面角,
又∵在直角三角形PAD中,PA=AD
∴∠PDA=45°
即平面PCD与平面ABCD所成锐二面角为45°
(2)证明:取PD的中点E,连接AE,EN,如下图所示
则EN∥CD∥AM,且EN=
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∴四边形AMNE为平行四边形,故AE∥MN…①
由(I)中CD⊥平面PAD,得AE⊥CD
又∵三角形PAD为等腰直角三角形,
∴AE⊥PD
∵PD∩CD=D
∴AE⊥平面PCD
由①得:MN⊥平面PCD
又∵MN⊂平面MND
∴平面MND⊥平面PCD.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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英语翻译
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