题目

a1=1 ,Sn=n^2*an,求a2 a3 a4 猜想an的通项公式 再用数学归纳法证明

提问时间：2020-10-28

答案

a2=1/3
a3=1/6
a4=1/10
an=1/(1+2+3+...+n)=2/n(n+1)
归纳法证明：
设n<=i 时,an=2/n(n+1),那么n=i+1时
S(i+1)=(i+1)^2*a(i+1)
所以a1+a2+...+a(i+1)=(i+1)^2*a(i+1)
所以a1+a2+...+ai=(i+1)^2*a(i+1)-a(i+1)
所以a(i+1)[(i+1)^2-1]=a1+a2+...+ai
=Si
=i^2*ai
=2i^2/[i(i+1)]
=2i/(i+1)
所以a(i+1)=[2i/(i+1)]/[(i+1)^2-1]=[2i/(i+1)]/[i(i+2)]
=2/(i+1)(i+2)
所以n=i+1时,an=2/(i+1)(i+2)=2/n(n+1)成立
所以结论成立
以后遇到类似的题目如果没有找到规律也没有要求数学归纳的话可以直接解,不用数学归纳
Sn=n^2*an
S(n-1)=(n-1)^2*a(n-1)
下式减去上式
an=n^2*an-(n-1)^2*a(n-1)
即（n^2-1)an=(n-1)(n-1)a(n-1)
即(n+1)(n-1)an=(n-1)(n-1)a(n-1)
即(n+1)an=(n-1)a(n-1)
还构不成递推数列,但是两边可以同乘n
n(n+1)an=(n-1)n*a(n-1)
这样就是一个递推数列了
所以n(n+1)an=(n-1)n*a(n-1)
=.
=1*2*a1
=2
所以an=2/n(n+1)