题目
关于多元复合函数微分的一道证明题
若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tz) =t^k F(x,y,z)(t>0),则称F(x,y,z)为k次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为k次齐次函数的充要条件是:
xF_x (x,y,z)+yF_y (x,y,z)+zF_z (x,y,z)=kF(x,y,z)
若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tz) =t^k F(x,y,z)(t>0),则称F(x,y,z)为k次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为k次齐次函数的充要条件是:
xF_x (x,y,z)+yF_y (x,y,z)+zF_z (x,y,z)=kF(x,y,z)
提问时间:2020-10-28
答案
证明必要性:F(tx,ty,tz) = t^k F(x,y,z) 恒成立,将等式两端对 t 进行求导得 xF_x (tx,ty,tz) + yF_y (tx,ty,tz) + zF_z (tx,ty,tz) = kt^(k-1)F(x,y,z) ,令 t = 1 即可得结论 xF_x (x,y,z) + yF_y (x,y,z) + zF_z (x,y,z) = kF(x,y,z) ,到此处必要性证明完毕.
证明充分性:xF_x (x,y,z) + yF_y (x,y,z) + zF_z (x,y,z) = kF(x,y,z) 恒成立,将等式中的 x ,y ,z 分别以 tx ,ty ,tz 代换后等式仍然成立,即 txF_x (tx,ty,tz) + tyF_y (tx,ty,tz) + tzF_z (tx,ty,tz) = kF(tx,ty,tz) 成立 ,将等式左边的 t 提取出来得 t[xF_x (tx,ty,tz) + yF_y (tx,ty,tz) + zF_z (tx,ty,tz)] = kF(tx,ty,tz) .等式左边的中括号中的式子恰好是 F(tx,ty,tz) 对 t 到全导数的形式,即 xF_x (tx,ty,tz) + yF_y (tx,ty,tz) + zF_z (tx,ty,tz) = d F(tx,ty,tz)/dt .于是可以将等式化为 t*d F(tx,ty,tz)/dt = kF(tx,ty,tz) ,解这个微分方程得 F(tx,ty,tz) = C*t^k ( 注:C为待定常数 ).令 t = 1 可得 C = F(x,y,z) ,将 C = F(x,y,z) 代回 F(tx,ty,tz) = C*t^k 即可得到结论 F(tx,ty,tz) = t^k F(x,y,z) ,到此充分性证毕 .
有啥不懂得等春节后再问我吧.我回老家过春节,上不了网了啦!所以你再郁闷也得等着偶春节后再说啦!
另外再加点题外话.不得不说楼主很幸运哪,今天晚上是我节前的最后一晚上网了,而且我是一个不在乎问题悬赏分数只在乎问题是否有意思的人呢,否则楼主这样超级考验对概念理解能力的题目怕是没有人会回答的吧.
祝你春节愉快!
证明充分性:xF_x (x,y,z) + yF_y (x,y,z) + zF_z (x,y,z) = kF(x,y,z) 恒成立,将等式中的 x ,y ,z 分别以 tx ,ty ,tz 代换后等式仍然成立,即 txF_x (tx,ty,tz) + tyF_y (tx,ty,tz) + tzF_z (tx,ty,tz) = kF(tx,ty,tz) 成立 ,将等式左边的 t 提取出来得 t[xF_x (tx,ty,tz) + yF_y (tx,ty,tz) + zF_z (tx,ty,tz)] = kF(tx,ty,tz) .等式左边的中括号中的式子恰好是 F(tx,ty,tz) 对 t 到全导数的形式,即 xF_x (tx,ty,tz) + yF_y (tx,ty,tz) + zF_z (tx,ty,tz) = d F(tx,ty,tz)/dt .于是可以将等式化为 t*d F(tx,ty,tz)/dt = kF(tx,ty,tz) ,解这个微分方程得 F(tx,ty,tz) = C*t^k ( 注:C为待定常数 ).令 t = 1 可得 C = F(x,y,z) ,将 C = F(x,y,z) 代回 F(tx,ty,tz) = C*t^k 即可得到结论 F(tx,ty,tz) = t^k F(x,y,z) ,到此充分性证毕 .
有啥不懂得等春节后再问我吧.我回老家过春节,上不了网了啦!所以你再郁闷也得等着偶春节后再说啦!
另外再加点题外话.不得不说楼主很幸运哪,今天晚上是我节前的最后一晚上网了,而且我是一个不在乎问题悬赏分数只在乎问题是否有意思的人呢,否则楼主这样超级考验对概念理解能力的题目怕是没有人会回答的吧.
祝你春节愉快!
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 1People say James Cameron thinks big and his movies are bigger,too.
- 2已知sina=4/5,且a是第二象限角,求cosa,tana的值
- 3(2-根号3)的2012次方(2+根号3)的2013次方-2丨-根号3/2)-1
- 4将函数f(X)=(1+x)ln(1+x)-x(其中x的绝对值小于1)展开成x的幂级数,可以帮我写个完整过程么
- 5若取高锰酸钾样品4g,实验结束是液体体积224ml,求高锰酸钾纯度,氧气的密度1.429g/L,
- 6We need to brush our teeth a_ eating dinner
- 71×2×3分之一+2×3×4分之一+3×4×5分之一+4×5×6分之一+.+48×49×50分之一 如果可以,我们题目要求的是脱式计算.
- 8(-2)³+-3分之1的负平方×(1-根号3)的0次幂
- 9能:浮在油中的物体在水中一定是浮的这种说法对吗?
- 10tv often on he watches games b
热门考点
- 1一个词,或者成语,或者名言.比喻一个人的眼光很高,但不愿为之付出努力.
- 2判断题:跨会计年度完成的劳务,应在劳务完成时确认收入.( )请告知是否正确,
- 3三星堆位于( ) 1.黄淮平原 2.渭河平原 3.江汉平原 4.成都平原
- 4连词成句以及句意 any,we,got,have,not,coffee
- 5王勃 滕王阁诗 表现手法
- 6一条绳子长6米,对折后,再对折,每段绳长一米的(),是这根绳的()
- 7李山甫的 寒食二首是什么的景色描写?
- 8直角三角形的斜边比一直角边长2cm,另一直角边长为6cm,则它的斜边长( ) A.4cm B.8cm C.10cm D.12cm
- 9老舍的草原的主人会欢呼什么?
- 10如何把一个正方形分割成八个正方形大小可以不一但不能重叠和漏空