题目

1.在三角形ABC中,已知b²sin²C+c²sin²B=2bccosB×cosC,试判断三角形的形状.
2.已知三角形ABC中,cosA=4/5,且（a-2):b:(c+2)=1：2：3,试判断三角形的形状.

提问时间：2020-10-27

答案

1、由正弦定理得：b/sinB=c/sinC
bsinC=csinB
b²*sin²C+c²*sin²B=2bc*cosB*cosC
=b²*sin²C+c²*sin²B-2bcsinBsinC+2bcsinBsinC
=(bsinC-csinB)^2+2bcsinBsinC
=2bc*sinB*sinC
2bc*sinB*sinC=2bccosB*cosC
sinB*sinC=cosB*cosC
cosB*cosC-sinB*sinC=0
cos(B+C)=0
B+C=90
所以三角形ABC为直角三角形.
2、设b=2k 则由(a-2):b:(c+2)=1:2:3得
a=k+2,b=2k,c=3k-2
由余弦定理得
cosA=4/5=（b²+c²-a²)/(2bc) 把a=k+2,b=2k,c=3k-2代入计算得
k=4
所以a=6,b=8,c=10
a²＋b²=c²
所以三角形是直角三角形