题目

1.点A、B分别是椭圆x^2/36+y^2/20=1长轴的左右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.
（1）求点P的坐标;
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于MB的绝对值,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
2.若点O和点F分别为椭圆x^2/4+y^2/3=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则向量OP*向量FP的最大值为?

提问时间：2020-10-27

答案

1、（1）设P（x,y）
则向量AP=（x+6,y）,向量PF=(x-4,y)
因为PA⊥PF,所以向量PA*向量PF=0,
即x^2+2x-24-y^2=0
又x^2/36+y^2/20=1
联立解得：x=-6（舍去）或3/2
将x=3/2代回,y=（5√3）/2
所以P为(3/2,（5√3）/2)
（2）设MQ⊥AP于Q,MQ=MB=m
由题意得：PF=5
因为△FPA∽△MQA
所以m/(12-m)=5/10
m=4,M坐标为（2,0）
设圆上一点X（x,y）,
则XM^2=(x-2)^2+y^2=((x-9/2)^2)*4/9+15
当x=9/2时,
XM取得最小值√15
2、设P为（x,y）
向量OP=（x,y）,向量FP=（x+1,y）
则向量OP*向量FP=x^2+x+y^2=((x+2)^2)/4+2
当x=2时,最大值为6