题目

如图,抛物线与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),设抛物线的顶点为D
如图,抛物线与x轴交于A（1,0）、B（-3,0）两点,与y轴交于点C（0,3）,设抛物线的顶点为D.（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么?（3）探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由.

提问时间：2020-10-27

答案

　　（1）根据三点坐标,可求出该抛物线解析式为y=-x2-2x+3,顶点D坐标(-1,5)

　　（2）根据B、C、D三点坐标,计算 △BCD三边长度,BC=3根号2、DC=根号2、BD=2根号5,符合勾股定理,因此△BCD是直角三角形,角BCD=90度.
　　（3）因为△BCD是直角三角形,△PAC若与之相似,也必须是直角三角形.如图所示,在坐标轴上,存在三个点P（P1、P2、P3）使△PAC为直角三角形,现逐一验证是否与△BCD相似.
　　P1C垂直于P1A,tg P1AC=tg D=3,因此角P1AC＝角D,所以△P1AC与△CDB相似,P1为原点（0,0）
　　P2C垂直于CA,角P2AC＝角P1AC＝角D,所以△P2AC与△BDC相似,AC＝根号10,P2A＝AC/cos角P2AC＝10,所以P2坐标为(-9,0)
　　P3A垂直于AC,角AP3C＝角OAC＝角D,所以△P3AC与△DCB相似,OP3＝OA/tg P3＝1/3,所以P3坐标为(0,-1/3)
　　因此,存在P点坐标(0,0)、(-9,0)、(0,-1/3),使以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似.