题目

函数的周期性 几道基本例题
1.对于函数f(x）,满足f(x+2)=-f(x)对任意x∈R都成立.
求证：4是f(x)的一个周期
变式:对于函数f(x）,满足f(x+2)=-1/f(x)对任意x∈R都成立.
求证：4是f(x)的一个周期
2.f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=x^2,求f(3.5)

提问时间：2020-10-27

答案

1：证：欲证4是f(x)的一个周期,等价于对所有的x∈R有f(x)=f(x+4)
∵f(x)=-f(x+2)
∴f(x+2)=-f(x+4)
∴f(x)=f(x=4)
得证.
变式：同理,∵对所有的x∈R,f(x+2)=-1/f(x),
∴对所有的x∈R,f(x)≠0
∴f(x+4)=-1/f(x+2)=f(x)
得证.
2：证：∵f(x)是偶函数,所以有f(x)=f(-x)
又f(x)以2为周期,所以有f(x)=f(x-2)
∴f(3.5)=f(3.5-2)=f(1.5)=f(1.5-2)=f(-0.5)=f(0.5)=0.5²=0.25