题目

在梯形abcd中,AD//BC,AC垂直BD于O,试判断AB+CD与AD+BC的大小关系,证明你的结论

提问时间：2020-10-27

答案

AB＋CD＞AD＋BC.证明如下：
令AD、BC的中点为E、F.
∵∠AOD＝90°,AE＝DE,∴EO＝AE＝AD/2,∴∠EOA＝∠EAO.
∵∠BOC＝90°,BF＝CF,∴FO＝BF＝BC/2,∴∠FOB＝∠FBO.
∵∠AOB＝90°,∴∠BAO＋∠ABO＝90°.
又AD∥BC,∴∠EAO＋∠BAO＋∠ABO＋∠FBO＝180°,∴∠EAO＋∠FBO＝90°,
∴∠EOA＋∠FOB＝90°,∴∠EOA＋∠AOB＋∠FOB＝180°,∴E、O、F共线,
∴EO＋FO＝EF,∴EF＝（AD＋BC）/2.
令AB、CD的中点为G、H.
∵∠AOB＝90°,AG＝BG,∴GO＝AG＝AB/2,∴∠GOA＝∠GAO.
∵∠COD＝90°,CH＝DH,∴HO＝DH＝CD/2,∴∠HOD＝∠HDO.
∵∠AOD＝90°,∴∠ADO＋∠DAO＝90°.
又AB、CD不平行,∴∠GAO＋∠DAO＋∠ADO＋∠HDO≠180°,∴∠GAO＋∠HDO≠90°,
∴∠GOA＋∠HOD≠90°,∴∠GOA＋∠AOD＋∠HOD≠180°,∴G、O、H不共线,
∴GO＋HO＞GH,∴GH＜（AB＋CD）/2.
由三角形中位线定理,有：EG＝DB/2,且EG∥DB,　HF＝DB/2,且HF∥DB,
∴GEHF是平行四边形.
再由三角形中位线定理,有EH∥AC.
由EH∥AC、EG∥DB、AC⊥BD,得：EG⊥EH,∴平行四边形GEHF是矩形,∴EF＝GH.
由EF＝GH、EF＝（AD＋BC）/2、GH＜（AB＋CD）/2,得：（AB＋CD）/2＞（AD＋BC）/2,
∴AB＋CD＞AD＋BC.