题目

已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(
已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中,AA₁=2AB,则CD与平面BDC₁所成角的正弦值等于（　　

提问时间：2020-10-27

答案

【解法1】：

设AB=1,则AA1=2,分别以向量D1A1,向量D1C1,向量D1D的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如下图所示：

则D(0,0,2),C1(0,1,0),B(1,1,2),C(0,1,2),
向量DB=(1,1,0),向量DC1=(0,1,-2),向量DC=(0,1,0),
设向量n=(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,则
向量n·向量DB=0    
向量n·向量DC1=0    
即
x+y=0    
y-2z=0    
取向量n=(-2,2,1),
设CD与平面BDC1所成角为θ,则sinθ=|向量·向量DC|/|向量n||向量DC|=2/3,
故答案为：2/3.
【解法2】：

如图,设AA1=2AB=2,AC交BD于点O,连结OC1,过C作CM⊥OC1于点H,连结DM. 
 

∵BD⊥AC,BD⊥AA1, 
∴BD⊥平面ACC1A1. 
∵CM属于平面ACC1A1, 
∴CM⊥BD．
∴CM⊥平面C1BD． 
∴∠CDM为CD与平面BDC1所成的角． 
OC1=√(CC1²+OC²)=3/√2.
.由等面积法得OC1·CM=OC·CC1, 
∴CM=2/3.
∴sin∠CDH=CM/CD=2/3.
故答案为：2/3.
//--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
祝楼主学习进步o(∩_∩)o