题目

在三角形ABC中,AB=AC,角A=36度,直线BD平分角ABC交AC于点D,求AD与AC的比值?

提问时间：2020-10-27

答案

由AB=AC,且∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°.
又BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=36°.即AD=BD.
∴△ABC∽△BCD,
设AB=AC=a,BC=BD=b,AD=x,CD=a-x,
由a/b=b/（a-x）
a²-ax=b²,
ax=a²-b²
ax/a²=（a²-b²）/a²
AD/AC=x/a=（a²-b²）/a²（1）
∵b/sin36°=a/sin72°=a/2sin36°cos36°
b=a/2cos36°,∴a=2bcos36°,（2）代入（1）得：
AD/AC=x/a=（4b²cos²36°-b²）/4b²cos²36°=（4cos²36°-1）/4cos²36°