题目

已知函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），如果对于任意x∈[3，+∞）都有|f（x）|≥1成立，试求a的取值范围．

提问时间：2020-10-27

答案

当a＞1时，对于任意x∈[3，+∞），都有f（x）＞0．
所以，|f（x）|=f（x），而f（x）=log_ax在[3，+∞）上为增函数，
∴对于任意x∈[3，+∞），有f（x）≥loga3．
因此，要使|f（x）|≥1对于任意x∈[3，+∞）都成立．
只要log_a3≥1=log_aa即可，∴1＜a≤3．
当0＜a＜1时，对于x∈[3，+∞），有f（x）＜0，
∴|f（x）|=-f（x）．
∵f（x）=log_ax在[3，+∞）上为减函数，
∴-f（x）在[3，+∞）上为增函数．
∴对于任意x∈[3，+∞）都有|f（x）|=-f（x）≥-log_a3．
因此，要使|f（x）|≥1对于任意x∈[3，+∞）都成立，
只要-loga3≥1成立即可，
∴loga3≤-1=loga

1

a

，即

1

a

≤3，∴

1

3

≤a＜1．
综上，使|f（x）|≥1对任意x∈[3，+∞）都成立的a的取值范围是：（1，3]∪[

1

3

，1）．