题目

设n维向量α＝(

1

2

，0，…，0，

1

2

)，矩阵A=E-α^Tα，B=E+2α^Tα，其中E为n阶单位矩阵，则AB=（　　）
A. 0
B. -E
C. E
D. E+α^Tα

提问时间：2020-10-27

答案

∵A=E-α^Tα，B=E+2α^Tα，
∴AB=（E-α^Tα）（E+2α^Tα）=E+2α^Tα-α^Tα-2α^Tαα^Tα，
而：ααT＝(

1

2

，0，…，0，

1

2

)

1 2 0 … 0 1 2

=

1

2

，
∴AB=E+2α^Tα-α^Tα-2α^T（αα^T）α=E+2αTα−αTα−2•

1

2

αTα=E，
故选：C．

将已知的矩阵A=E-αTα，B=E+2αTα代入到AB，化简即可求得答案．

本题考点：单位矩阵的概念及其性质；矩阵相乘的定义和运算性质；矩阵相乘的结合律、分配率．

考点点评：此题考查矩阵的数乘和乘法运算，非常基础．