题目

设z=f（x²-y²，e^xy），其中f具有连续二阶偏导数，求

∂z

∂x

 ， 

∂z

∂y

 ， 

∂2z

∂x∂y

．

提问时间：2020-10-27

答案

设u=x²-y²，v=e^xy，则z=f（u，v）
因此

∂z

∂x

＝

∂f

∂u

∂u

∂x

+

∂f

∂v

∂v

∂x

=2xf1′+yexyf2′

∂z

∂y

＝

∂f

∂u

∂u

∂y

+

∂f

∂v

∂v

∂y

＝−2yf1′+xexyf2′
∴

∂2z

∂x∂y

＝

∂

∂y

(2xf1′+yexyf2′)=2x

∂f1′

∂y

+exyf2′+xyexyf2′+yexy

∂f2′

∂y

=2xf11″•(−2y)+2xf12″•(xexy)+exyf2′+xye^xyf₂'+yexy[f21″•(−2y)+f22″•(xexy)]
=−4xyf11″+2(x2−y2)exyf12″+xye2xyf22″+(1+xy)e^xyf₂′

利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算．

本题考点：多元函数高阶偏导的求法．

考点点评：偏导数的求解过程中，为了书写的简单，经常会用f_i'表示函数f对第i个变量求偏导，用f_ij''表示函数f先对第i个变量求偏导再对第j个变量求偏导．另外，由于f具有2阶连续偏导数，故f_ij''=f_ji''