题目

求证：三次根号2是无理数

提问时间：2020-10-27

答案

所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能.根据这一点,有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子,把有理数改叫为“比数”,把无理数改叫为“非比数”.本来嘛,无理数并不是不讲道理,只是人们最初对它不太了解罢了.
利用这个主要区别,可以证明三次根号2是无理数.
证明：假设三次根号2不是无理数,而是有理数.
既然三次根号2是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式：
三次根号2=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去,所以可以认为p/q 为既约分数,即最简分数形式.
把 三次根号2=p/q 两边三次方
得 2=(p^3)/(q^3)
即 2(q^3)=p^3
由于2q^3是偶数,p 必定为偶数,设p=2m
由 2(q^3)=8(m^3)
得 q^3=4m^3
同理q必然也为偶数,设q=2n
既然p和q都是偶数,他们必定有公因数2,这与前面假设p/q是既约分数矛盾.这个矛盾是有假设三次根号2是有理数引起的.因此三次根号2是无理数.