题目

如果三个平面两两相交于三条直线,请指出这三条直线的位置关系,并说明理由

提问时间：2020-10-26

答案

平行或共点
证明很简单
就是证明,若三条直线不共点则一定平行,不会的话,可以加我
这应该是立体几何的基本知识里的题目吧
主要就是应用关于立体几何的三个公理
把你的问题写成一个结论就是：
三个平面两两相交于三条直线,则这三条直线要么相交于一点,要么互相平行.
证明：
两个思路
1.证明若不是互相平行则一定相交于一点
2.证明若不是相交于一点则一定互相平行
思路1的证明
假设有三个平面α,β,γ,
并且α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c
根据平行公理可知,若a,b,c不是互相平行的,
则a,b,c中至少有两组直线不是互相平行的（自己想想为什么）
故可以假设a与b不平行,a与c不平行
若a与b不平行
因a,b含于α
故a,b一定相交
设a∩b=P
同理可设a∩c=Q
假若P与Q不是同一个点
显然P∈α,Q∈α
据公理2可知PQ含于α,同理可得PQ含于β,PQ含于γ
这样α,β,γ三个平面相交于一条直线,与题设矛盾
故P与Q是同一个点
这样就有a∩b=P且a∩c=P
即a,b,c相交于一点
或者简单一点
假设有三个平面α,β,γ,
并且α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c
若a,b,c不是互相平行的,
则可以假设a与b不平行
若a与b不平行
因a,b含于α
故a,b一定相交
设a∩b=P
显然P∈γ,P∈β
故P∈β∩γ=c
即a,b,c相交于一点P
思路2的证明
其实思路1和思路2本质上是相同的
假设有三个平面α,β,γ,
并且α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c
若a,b,c不是相交于一点
则对于a和b这两条直线而言
他们的关系就有两种（显然a与b共面,故排除了异面的情形）
a与b相交或a//b
假设a∩b=P
这样就又回到了思路1了
接下来可知这种情况下a,b,c相交于一点,与题设矛盾
故只能a//b
同理a//c这样由平行公理可知a//b//c