题目

设点G是三角形ABC的重心,若角A=120°,AB（向量）.AC（向量）=-1,则AG的长度的最小值是
答案是三分之根号2,我算的怎么是答案：三分之二倍根号2,我是这样做的,求出向量AB与AC的模等于2,AG=1/3(AB+AC) 设AB=X AC=Y,x+y≥2倍根号XY,即大于等于2倍根号2,这样AG不就≥三分之二倍根号2,错哪里了

提问时间：2020-10-26

答案

AG=1/3(AB+AC),这个等式中,AG ,AB,AC都是向量,不是长度.
利用基本不等式必须是正实数,不能是向量.
【解】
角A=120°,AB（向量）.AC（向量）=-1,
可得|AB||AC|cos120°=-1,|AB||AC|=2.
AG=1/3(AB+AC),
则AG²=1/9(AB+AC) ²
AG²=1/9(AB²+AC²+2 AB*AC)
AG²=1/9(AB²+AC²-2)
即|AG|²=1/9(|AB|²+|AC|-2)
根据基本不等式可得：|AB|²+|AC|²≥2|AB||AC|=4,
∴|AG|²=1/9(|AB|²+|AC|-2) ≥1/9(4-2) =2/9,
|AG|≥√2/3.