题目

三棱锥D-ABC的底面ABC是锐角三角形,且DA垂直平面ABC,H是A在平面BCD内的射影,求证：H不可能是△BCD的垂心

提问时间：2020-10-26

答案

利用反证法,假设H是△BCD的垂心.
延长BH交CD于E.
∵H是A在平面BCD内的射影,∴AH⊥平面BCD,∴CD⊥AH.
由假设,H是△BCD的垂心,∴CD⊥BH.
由CD⊥AH、CD⊥BH、AH∩BH＝H,得：CD⊥平面ABH,∴AB⊥CD.
∵AD⊥平面ABC,∴AB⊥AD.
由AB⊥CD、AB⊥AD、AB∩AD＝A,得：AB⊥平面ACD,∴AB⊥AC.
这与△ABC是锐角三角形矛盾,说明假设不成立.
∴H不可能是△BCD的垂心.