题目
正方形ABCD的顶点A在直线MN上,点O是对角线AC、BD的交点,过点O作OE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F.
(1)如图1,当O、B两点均在直线MN上方时,易证:AF+BF=2OE(不需证明)
(2)当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时,线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系?请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明.
(1)如图1,当O、B两点均在直线MN上方时,易证:AF+BF=2OE(不需证明)
(2)当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时,线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系?请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明.
提问时间:2020-10-25
答案
(1)证明:如图,过点B作BG⊥OE于G,
则四边形BGEF是矩形,
∴EF=BG,BF=GE,
在正方形ABCD中,OA=OB,∠AOB=90°,
∵BG⊥OE,
∴∠OBG+∠BOE=90°,
又∵∠AOE+∠BOE=90°,
∴∠AOE=∠OBG,
∵在△AOE和△OBG中,
,
∴△AOE≌△OBG(AAS),
∴OG=AE,OE=BG,
∵AF-EF=AE,EF=BG=OE,AE=OG=OE-GE=OE-BF,
∴AF-OE=OE-BF,
∴AF+BF=2OE;
(2)图2结论:AF-BF=2OE,
图3结论:BF-AF=2OE.
对图2证明:过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G,
则四边形BGEF是矩形,
∴EF=BG,BF=GE,
在正方形ABCD中,OA=OB,∠AOB=90°,
∵BG⊥OE,
∴∠OBG+∠BOE=90°,
又∵∠AOE+∠BOE=90°,
∴∠AOE=∠OBG,
∵在△AOE和△OBG中,
,
∴△AOE≌△OBG(AAS),
∴OG=AE,OE=BG,
∵AF-EF=AE,EF=BG=OE,AE=OG=OE+GE=OE+BF,
∴AF-OE=OE+BF,
∴AF-BF=2OE;
若选图3,其证明方法同上.
作OG⊥BF于G,
则四边形EFGO是矩形,
∴EF=GO,GF=EO,∠GOE=90°,
∴∠AOE+∠AOG=90°.
在正方形ABCD中,OA=OB,∠AOB=90°,
∴∠AOG+∠BOG=90°,
∴∠AOE=∠BOG.
∵OG⊥BF,OE⊥AE,
∴∠AEO=∠BGO=90°.
∴△AOE≌△BOG(AAS),
∴OE=OG,AE=BG,
∵AE-EF=AF,EF=OG=OE,AE=BG=AF+EF=OE+AF,
∴BF-AF=BG+GF-(AE-EF)=AE+OE-AE+EF=OE+OE=2OE,
∴BF-AF=2OE.
则四边形BGEF是矩形,
∴EF=BG,BF=GE,
在正方形ABCD中,OA=OB,∠AOB=90°,
∵BG⊥OE,
∴∠OBG+∠BOE=90°,
又∵∠AOE+∠BOE=90°,
∴∠AOE=∠OBG,
∵在△AOE和△OBG中,
|
∴△AOE≌△OBG(AAS),
∴OG=AE,OE=BG,
∵AF-EF=AE,EF=BG=OE,AE=OG=OE-GE=OE-BF,
∴AF-OE=OE-BF,
∴AF+BF=2OE;
(2)图2结论:AF-BF=2OE,
图3结论:BF-AF=2OE.
对图2证明:过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G,
则四边形BGEF是矩形,
∴EF=BG,BF=GE,
在正方形ABCD中,OA=OB,∠AOB=90°,
∵BG⊥OE,
∴∠OBG+∠BOE=90°,
又∵∠AOE+∠BOE=90°,
∴∠AOE=∠OBG,
∵在△AOE和△OBG中,
|
∴△AOE≌△OBG(AAS),
∴OG=AE,OE=BG,
∵AF-EF=AE,EF=BG=OE,AE=OG=OE+GE=OE+BF,
∴AF-OE=OE+BF,
∴AF-BF=2OE;
若选图3,其证明方法同上.
作OG⊥BF于G,
则四边形EFGO是矩形,
∴EF=GO,GF=EO,∠GOE=90°,
∴∠AOE+∠AOG=90°.
在正方形ABCD中,OA=OB,∠AOB=90°,
∴∠AOG+∠BOG=90°,
∴∠AOE=∠BOG.
∵OG⊥BF,OE⊥AE,
∴∠AEO=∠BGO=90°.
∴△AOE≌△BOG(AAS),
∴OE=OG,AE=BG,
∵AE-EF=AF,EF=OG=OE,AE=BG=AF+EF=OE+AF,
∴BF-AF=BG+GF-(AE-EF)=AE+OE-AE+EF=OE+OE=2OE,
∴BF-AF=2OE.
(1)过点B作BG⊥OE于G,可得四边形BGEF是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=BG,BF=GE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG,然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等,根据全等三角形对应边相等可得OG=AE,OE=BG,再根据AF-EF=AE,整理即可得证;
(2)选择图2,过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G,可得四边形BGEF是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=BG,BF=GE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG,然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等,根据全等三角形对应边相等可得OG=AE,OE=BG,再根据AF-EF=AE,整理即可得证;选择图3同理可证.
(2)选择图2,过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G,可得四边形BGEF是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=BG,BF=GE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG,然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等,根据全等三角形对应边相等可得OG=AE,OE=BG,再根据AF-EF=AE,整理即可得证;选择图3同理可证.
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