题目

设数列{a_n}满足：a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=2ⁿ（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=n²a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

提问时间：2020-10-25

答案

（1）∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=2ⁿ①，
∴n≥2时，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=2^n-1②
①-②得na_n=2^n-1，a_n=

2n−1

n

（n≥2），在①中令n=1得a₁=2，
∴a_n=

2(n＝1) 2n−1 n (n≥2)

（2）∵b_n=

2(n＝1) n•2n−1(n≥2)

．
则当n=1时，S₁=2
∴当n≥2时，S_n=2+2×2+3×2²+…+n×2^n-1
则2S_n=4+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
相减得S_n=n•2ⁿ-（2+2²+2³+…+2^n-1）=（n-1）2ⁿ+2（n≥2）
又S₁=2，符合S_n的形式，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+2（n∈N^*）

（1）根据题意，可得a₁+2a₂+3a₃++（n-1）a_n-1=2^n-1，两者相减，可得数列{a_n}的通项公式．
（2）根据题意，求出b_n的通项公式，继而求出数列{b_n}的前n项和S_n．

本题考点：数列递推式；数列的求和．

考点点评：此题主要考查数列通项公式的求解和相关计算．