题目

对于函数f（x）=-1/4x4+2/3X3+aX2-2X-2
其中a为实常数,已知函数y=f（x）的图像在点（-1,f（-1））处的切线与y轴垂直⑴0求实数a的值⑵若关于x的方程f（3的x次）=m有3个不等实根,求实数m的取值范围⑶若函数y=log2（f（x）+p）无零点,求实数p的取值范围
log以2 为底
f（x）=负的4分之一x的4次加3分之2 x的3次加ax的3次减2x减2

提问时间：2020-10-25

答案

(1)∵已知函数y=f（x）的图像在点（-1,f（-1））处的切线与y轴垂直
∴y=f（x）的图像在点（-1,f（-1））处的切线斜率为0
∵f'(x)=-x^3+2x^2+2ax-2
f（x）在（-1,f（-1））处的导数 f'(-1)=1-2a=0   ∴a=1/2
(2) f(x)=-x^4/4+2x^3/3+x^2/2-2x-2    f'(x)=-x^3+2x^2+x-2
                                          =-(x+1)(x-1)(x-2)
令3^x=t   则 t＞0  ∴f'(t)=-(t+1)(t-1)(t-2)=0   得   t＝-1  , 1 , 2
∴f(t)在   1＜t＜2  上为增函数   在   0＜t＜1  和  t＞2
上为减函数  f(0)=-2   f(1)=-37/12   f(2)=-8/3
结合f(t)的图像   （如图所示：）  （注：图像画的不是很像）
易知f(t)=m   有三个不等的实根时     -37/12＜m＜-2
(3)由（2）知   f(x)max=-5/12    
∴①当f（x）+p≤0恒成立时    函数y=log2（f（x）+p）无零点
则f(x)max+p＝-5/12+p≤0     得  ：  p≤5/12
②当存在f（x）+p＞0时   则  （f（x）+p）max＜1    函数y=log2（f（x）+p）无零点  得   -5/12+p＜1    解得 ： p＜17/12
③当存在f（x）+p≥1时    ∵f（x）为连续函数   ∴在符合存在f（x）+p≥1
条件下的任意p   都一定有一个x   使得  f（x）+p＝1  
即函数y=log2（f（x）+p）存在零点   ∴不符合条件   
综上所述 ：   p＜17/12