题目

求函数y=|x²-5x+6|在x∈[-1，a]上的值域．

提问时间：2020-10-25

答案

原函数可化为f（x）=

x2−5x+6，x≤2或x≥3 −x2+5x−6，2＜x＜3

，该函数在区间（-∞，2]，[

5

2

，3]上是减函数；在区间（2，

5

2

），（3，+∞）上是增函数．
其图象如图所示：

（1）当a≤2时，原函数在[-1，a]上递减，所以y_min=f（a）=a²-5a+6，y_max=f（-1）=12，所以此时值域为[a²-5a+6，12]；
（2）当2＜a≤6时，因为f（

5

2

）=

1

4

＜f（-1）=f（6）=12，所以由图象可知，函数f（x）在区间[-1，a]上的最小值为0，最大值为f（-1）=12，所以此时值域为[0，12]；
（3）当a＞6时，结合（2）可知以及图象可知，y_min=0，y_max=f（a）=a²-5a+6，所以此时值域为[0，a²-5a+6]．
综上可知，当a≤2时，值域为[a²-5a+6，12]；当2＜a≤6时，值域为[0，12]；当a＞6时，值域为[0，a²-5a+6]．

先将函数的绝对值符号去掉，化成分段函数，然后给出该函数的单调区间，再讨论函数在[-1，a]上的单调性，从而求出该函数的在区间[-1，a]上的值域．

本题考点：函数的最值及其几何意义．

考点点评：本题考查了利用函数单调性求函数值域的方法，关键是利用如何画出函数的图象，进一步研究该函数的单调性．让学生充分体会数形结合的思想在研究函数性质时的作用．